सरलीकरण (Simplification)

सरलीकरण (Simplification)

किसी गणितीय व्यंजक को साधारण भिन्न या संख्यात्मक रूप में बदलने की प्रक्रिया ‘ सरलीकरण ’ कहलाती है । इसके अन्तर्गत गणितीय संक्रियाओं ; जैसे जोड़ , घटाव , गुणा , भाग आदि को BODMAS क्रम के आधार पर हल करते हुए दिए गए व्यंजक का मान प्राप्त किया जाता है ।

कोष्ठक चार प्रकार के होते हैं -

1 . → रेखा कोष्ठक ( Line Bracket )

2 . ( ) → छोटा कोष्ठक ( Simple or Small Bracket )

3 . { } → मझला कोष्ठक ( Curly Bracket )

4 . [ ] → बड़ा कोष्ठक ( Square Bracket )

इनको इसी क्रम में सरल करते हैं ।

यदि कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न हो , तो सरल करने पर अन्दर के सभी चिह्न बदल जाते हैं ।

BODMAS का नियम

B → कोष्ठक ( Bracket ) रेखा कोष्ठक , छोटा कोष्ठक , मझला कोष्ठक , बड़ा कोष्ठक

O → का ( Of )

D → भाग ( Division )

M → गुणा ( Multiplication )

A → योग ( Addition )

S → अन्तर ( Subtraction )

उपरोक्त क्रम के अलावा व्यंजकों के सरलीकरण में विभिन्न बीजगणितीय सूत्रों का भी प्रयोग किया जाता है ।

सरलीकरण हेतु महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएं

  • उभयनिष्ट गुणक

    c(a+b) = ca + cb

  • द्विपद का वर्ग

    (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

    (a-b)2 = a2 - 2ab + b2

  • दो पदों के योग एवं अन्तर का गुणनफल (वर्गान्तर सूत्र)

    a2 - b2 = (a+b) (a-b)

  • अन्यान्य सर्वसमिकाएँ(घनों का योग व अंतर)

    a3 - b3 = (a-b) (a2 + ab + b2)

    a3 + b3 = (a+b) (a2 - ab + b2)

  • द्विपद का घन

    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

    (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

  • बहुपद का वर्ग

    (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

  • दो द्विपदों का गुणन जिनमें एक समान पद हो

    (x + a )(x + b ) = x2 + (a + b )x + ab

  • गाउस (Gauss) की सर्वसमिका

    a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 - ab -bc - ca)

  • लिगेन्द्र (Legendre) सर्वसमिका

    (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2 + b2)

    (a+b)2 - (a-b)2 = 4ab)

    (a+b)4 - (a-b)4 = 8ab(a2 + b2)

  • लाग्रेंज (Lagrange) की सर्वसमिका

    (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay - bx)2

    (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 + (ay - bx)2 + (az - cx)2 + (bz - cy )2

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