औसत ( Average )

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औसत ( Average ) - दो या दो से अधिक सजातीय पदों का ‘औसत’ वह संख्या है , जो दिए गए पदों के योगफल को उन पदों की संख्या से भाग देने पर प्राप्त होती है । इसे ‘मध्यमान’ भी कहा जाता है ।

औसत =
सभी राशियों का योग / राशियों की संख्या
सभी राशियों का योग = औसत × राशियों की संख्या
जैसे - x1 , x2 , x3 , . . . . . . xn पदों का औसत =
x1 + x2 + x3 + . . . . . . xn / n

औसत से सम्बंधित महत्वपूर्ण सूत्र

प्रथम n संख्याओं का औसत =
( n + 1 ) / 2
प्रथम n सम संख्याओं का औसत = ( n + 1 )
प्रथम n विषम संख्याओं का औसत = n
1 से n तक की सम संख्याओं का औसत =
( n + 2 ) / 2
1 से n तक की विषम संख्याओं का औसत =
( n + 1 ) / 2
प्रथम n संख्याओं के वर्गों का औसत =
( n + 1 ) ( 2n + 1 ) / 6
दो क्रमागत पदों या संख्याओं का अन्तर समान हो , तो औसत =
पहली संख्या + अन्तिम संख्या / 2
यदि n1 परिमाणों का औसत x1 तथा n2 परिमाणों का औसत x2 हो , तो कुल परिमाणों ( n1 + n2 ) का औसत
n1x1 + n2x2 / n1 + n2
होगा
दो समान दूरियां दो असमान चाल से तय की गई हों , तो औसत चाल =
2 × पहली चाल × दूसरी चाल / पहली चाल + दूसरी चाल
तीन समान दूरियां तीन असमान चाल से तय की गई हों , तो औसत चाल =
2 × पहली चाल × दूसरी चाल × तीसरी चाल / पहली चाल × दूसरी चाल + दूसरी चाल × तीसरी चाल + पहली चाल × तीसरी चाल
यदि किसी यात्रा में भिन्न - भिन्न दूरियाँ भिन्न - भिन्न समय में तय की गई हों , तो औसत चाल =
तय की गई कुल दूरी / कुल समय

यदि m संख्याओं का औसत x है तथा n संख्याओं का औसत y है , तो शेष संख्याओं का औसत

( i ) शेष संख्याओं का औसत =
mx - ny / m - n
( जहाँ m > n )
( ii ) शेष संख्याओं का औसत =
ny - mx / n - m
( जहाँ n > m )

कुछ अन्य सूत्र

N विद्यार्थियों के समूह की औसत आयु T वर्ष है , जब n विद्यार्थी और आ जाएँ , तो समूह की औसत आयु T वर्ष बढ़ जाती है , तब

नए विद्यार्थियों की औसत आयु = T + (
N / n
+ 1 )t

यदि औसत आयु t वर्ष घट जाती है , तब

नए विद्यार्थियों की औसत आयु = T - (
N / n
+ 1 )t

यदि N व्यक्तियों के एक समूह में एक T वर्ष के आदमी के स्थान पर एक नया व्यक्ति आ जाता है , जिससे औसत आयु में t वर्ष की वृद्धि होती है , तो

नए व्यक्ति की आयु = T + N•t

यदि नए व्यक्ति के आ जाने से t वर्ष की कमी होती है , तो

नए व्यक्ति की आयु = T - N•t

यदि ( n + 1 ) संख्याओं में से प्रथम n संख्याओं का औसत Y तथा अन्तिम n संख्याओं का औसत Z हो तथा प्रथम संख्या f तथा अन्तिम संख्या l हो , तो अभीष्ट सम्बन्ध है

f - l = n ( Y - Z )

t वर्ष पहले एक परिवार के N सदस्यों की औसत आयु T वर्ष थी , यदि परिवार में n बच्चों के बढ़ जाने पर भी वर्तमान औसत आयु वही रहती है , तो

n बच्चों की वर्तमान आयु = n•T - N•t

औसत के गुण

यदि सभी संख्याओं में ‘a’ की वृद्धि होती है , तो उनके औसत में भी ‘a’ की वृद्धि होगी ।

यदि सभी संख्याओं में ‘a’ की कमी होती है , तो उनके औसत में भी ‘a’ की कमी होगी ।

यदि सभी संख्याओं में ‘a’ की गुणा की जाती है , तो उनके औसत में भी ‘a’ की गुणा होगी ।

यदि सभी संख्याओं को ‘a’ से भाग दिया जाता है , तो उनके औसत में भी ‘a’ से भाग होगा ।


Also Read - अनुपात एवं समानुपात ( Ratio and Proportion )


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