अनुपात ( Ratio ) - समान प्रकार की दो राशियों / वस्तुओं के बीच सम्बन्ध को अनुपात कहते हैं
दो राशियों का अनुपात एक भिन्न के बराबर होता है , अतः यह प्रदर्शित करता है कि एक राशि दूसरी राशि से कितनी गुनी कम या अधिक है
माना एक राशि x तथा दूसरी राशि y है , तब इनके बीच अनुपात = x : y
अनुपात के प्रकार
दो समान अनुपातों के मिश्रित अनुपात को वर्गानुपात कहते हैं , जैसे -
a : b का वर्गानुपात = a2 : b2
किसी अनुपात के वर्गमूल को वर्गमूलानुपाती कहते हैं , जैसे -
a : b का वर्गमूलानुपाती = √a : √b
किसी अनुपात के तृतीय घात को घनानुपाती कहते हैं , जैसे -
a : b का घनानुपाती = a3 : b3
किसी अनुपात के घनमूल को घनमूलानुपाती कहते हैं , जैसे -
a : b का घनमूलानुपाती = ∛a : ∛b
किसी अनुपात के उल्टे को व्युत्क्रमानुपाती कहते हैं , जैसे -
जब दो अनुपात परस्पर समान होते हैं , तो वे समानुपाती ( Proportional ) कहलाते हैं , जैसे
a : b = c : d हो , तब a , b , c तथा d समानुपाती हैं
विलोमानुपाती ( Invertendo ) उस अनुपात को कहते हैं , जो स्थान बदल लें , जैसे -
a : b = c : d का विलोमानुपात b : a :: d : c
अनुपात के कुछ विशेष गुण -:
अनुपात में पहली संख्या अर्थात् x को पूर्ववर्ती ( Antecedent ) तथा दूसरी संख्या अर्थात् y को अनुवर्ती ( Consequent ) कहते हैं
x : y =
अनुपात हमेशा समान इकाई की संख्या के बीच होता है ,जैसे - रुपया : रुपया , किग्रा : किग्रा , घण्टा : घण्टा , सेकण्ड : सेकण्ड आदि
यदि दो अनुपात x : y तथा P : Q दिए गए हैं , तो Px : Qy मिश्रित अनुपात में कहलाएंगे
दो संख्याओं a तथा b का मध्य समानुपाती ( Mean proportional ) - माना मध्य समानुपाती x है , तब
a : x :: x : b ( सही स्थिति )
हल करने पर ,
x2 = a.b
⇒ x =√ a.b
अतः दो संख्याओं a तथा b का मध्य समानुपाती = √a.b होता है
यदि a : b :: C : d हो , तो a : c :: b : d एकान्तरानुपात ( Altermendo ) कहलाता है ,
यदि a : b :: c : d हो , तो ( a + b ) : b :: ( c + d ) : d योगानुपात ( Componendo ) कहलाता है
यदि a : b :: c : d हो , तब ( a - b ) : b :: ( c - d ) : d अन्तरानुपात ( Dividendo ) कहलाता है
योगान्तरानुपात ( Componendo and Dividendo ) योगानुपात तथा अन्तरानुपात का सम्मिलन है
यदि a : b :: c : d हो , तब ( a + b ) : ( a - b ) :: ( c + d ) : ( c - d ) योगान्तरानुपात है
⇒ समानुपात के सरलीकरण हेतु उपर्युक्त संक्रियाओं में से किसी को सीधे प्रयोग किया जा सकता है
दो संख्याओं a तथा b का तृतीय समानुपाती ( Third Proportional ) - माना दो संख्याओं a तथा b का तृतीय समानुपाती x है , तब
a : b = b : x ( सही स्थिति )
हल करने पर ,
तीन संख्याओं a , b तथा c का चतुर्थ समानुपाती ( Fourth Proportional ) माना a , b तथा c का चतुर्थ समानुपाती x है , तब
a : b = c : r ( सही स्थिति )
हल करने पर ,
यदि कोई राशि x , a : b : c के अनुपात में विभक्त करनी हो , तो -
चार संख्याएँ a , b , C तथा d हैं , तो कौनसी एक अन्य संख्या घटा दी जाए , जिससे ये संख्याएँ समानुपात में हो जाएं
यहाँ a , b , c व d को हमेशा बढ़ते क्रम में लेना चाहिए .
⇒ यदि प्रश्न में घटाने के स्थान पर जोड़ने के लिए कहा जाए , तो उपर्युक्त सूत्र से प्राप्त परिणाम में ( - ) चिह्न से गुणा करते हैं अर्थात् चिह्न पलट जाता है .
यदि
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