अनुपात एवं समानुपात ( Ratio and Proportion )

anupaat or smaanupat

अनुपात ( Ratio ) - समान प्रकार की दो राशियों / वस्तुओं के बीच सम्बन्ध को अनुपात कहते हैं

दो राशियों का अनुपात एक भिन्न के बराबर होता है , अतः यह प्रदर्शित करता है कि एक राशि दूसरी राशि से कितनी गुनी कम या अधिक है

माना एक राशि x तथा दूसरी राशि y है , तब इनके बीच अनुपात = x : y

अनुपात के प्रकार

दो समान अनुपातों के मिश्रित अनुपात को वर्गानुपात कहते हैं , जैसे -
a : b का वर्गानुपात = a2 : b2

किसी अनुपात के वर्गमूल को वर्गमूलानुपाती कहते हैं , जैसे -
a : b का वर्गमूलानुपाती = √a : √b

किसी अनुपात के तृतीय घात को घनानुपाती कहते हैं , जैसे -
a : b का घनानुपाती = a3 : b3

किसी अनुपात के घनमूल को घनमूलानुपाती कहते हैं , जैसे -
a : b का घनमूलानुपाती = ∛a : ∛b

किसी अनुपात के उल्टे को व्युत्क्रमानुपाती कहते हैं , जैसे -

a : b का व्युत्क्रमानुपाती =
1 / a
:
1 / b

जब दो अनुपात परस्पर समान होते हैं , तो वे समानुपाती ( Proportional ) कहलाते हैं , जैसे
a : b = c : d हो , तब a , b , c तथा d समानुपाती हैं

विलोमानुपाती ( Invertendo ) उस अनुपात को कहते हैं , जो स्थान बदल लें , जैसे -
a : b = c : d का विलोमानुपात b : a :: d : c

अर्थात्
a / b
=
c / d
या
b / a
=
d / c

अनुपात के कुछ विशेष गुण -:

अनुपात में पहली संख्या अर्थात् x को पूर्ववर्ती ( Antecedent ) तथा दूसरी संख्या अर्थात् y को अनुवर्ती ( Consequent ) कहते हैं

x : y =
x / y

अनुपात हमेशा समान इकाई की संख्या के बीच होता है ,जैसे - रुपया : रुपया , किग्रा : किग्रा , घण्टा : घण्टा , सेकण्ड : सेकण्ड आदि

यदि दो अनुपात x : y तथा P : Q दिए गए हैं , तो Px : Qy मिश्रित अनुपात में कहलाएंगे

दो संख्याओं a तथा b का मध्य समानुपाती ( Mean proportional ) - माना मध्य समानुपाती x है , तब
a : x :: x : b ( सही स्थिति )
हल करने पर ,
x2 = a.b
⇒ x = a.b
अतः दो संख्याओं a तथा b का मध्य समानुपाती = a.b होता है

यदि a : b :: C : d हो , तो a : c :: b : d एकान्तरानुपात ( Altermendo ) कहलाता है ,

अर्थात्
a / b
=
c / d
या
a / c
=
b / d
( एकान्तरानुपात )

यदि a : b :: c : d हो , तो ( a + b ) : b :: ( c + d ) : d योगानुपात ( Componendo ) कहलाता है

अर्थात्
a / b
=
c / d
, तब
(a + b) / b
=
(c + d) / d
( योगानुपात )
या
a / b
+ 1
c / d
+ 1 ⇒
(a + b) / b
=
(c + d) / d

यदि a : b :: c : d हो , तब ( a - b ) : b :: ( c - d ) : d अन्तरानुपात ( Dividendo ) कहलाता है

अर्थात्
a / b
=
c / d
a / b
- 1 =
c / d
- 1
a - b / b
=
c - d / d
( अन्तरानुपात )

योगान्तरानुपात ( Componendo and Dividendo ) योगानुपात तथा अन्तरानुपात का सम्मिलन है
यदि a : b :: c : d हो , तब ( a + b ) : ( a - b ) :: ( c + d ) : ( c - d ) योगान्तरानुपात है
⇒ समानुपात के सरलीकरण हेतु उपर्युक्त संक्रियाओं में से किसी को सीधे प्रयोग किया जा सकता है

दो संख्याओं a तथा b का तृतीय समानुपाती ( Third Proportional ) - माना दो संख्याओं a तथा b का तृतीय समानुपाती x है , तब
a : b = b : x ( सही स्थिति )
हल करने पर ,

a / b
:
b / x
⇒ b2 = ax
∴ x =
b2 / a
अतः दो संख्याओं a तथा b का तृतीय समानुपाती
b2 / a
होता है

तीन संख्याओं a , b तथा c का चतुर्थ समानुपाती ( Fourth Proportional ) माना a , b तथा c का चतुर्थ समानुपाती x है , तब


a : b = c : r ( सही स्थिति )
हल करने पर ,
a / b
=
c / x
⇒ a.x = bc
⇒ x
bc / a
अतः तीन संख्याओं a , b तथा c का चतुर्थ समानुपाती =
bc / a
होता है

यदि कोई राशि x , a : b : c के अनुपात में विभक्त करनी हो , तो -

( a ) पहला भाग =
a / a + b + c
पहला अनुपात / अनुपातों का योग
( b ) दूसरा भाग =
b / a + b + c
दूसरा अनुपात / अनुपातों का योग
( c ) तीसरा भाग =
c / a + b + c
तीसरा अनुपात / अनुपातों का योग

चार संख्याएँ a , b , C तथा d हैं , तो कौनसी एक अन्य संख्या घटा दी जाए , जिससे ये संख्याएँ समानुपात में हो जाएं

अभीष्ट संख्या =
ad - bc / (a + d) - (b + c)

यहाँ a , b , c व d को हमेशा बढ़ते क्रम में लेना चाहिए .
⇒ यदि प्रश्न में घटाने के स्थान पर जोड़ने के लिए कहा जाए , तो उपर्युक्त सूत्र से प्राप्त परिणाम में ( - ) चिह्न से गुणा करते हैं अर्थात् चिह्न पलट जाता है .

यदि
a / b
=
c / d
=
e / f
= .......
तब प्रत्येक अनुपात का मान
a + c + e + .... / b + d + f +.....
पूर्ववर्ती संख्याओं का योग / अनुवर्ती संख्याओं का योग
जैसे -
x + y / ax + by
=
y + z / dy + bz
=
z + x / az + bx
तब प्रत्येक अनुपात का मान
=
x + y + y + z + z + x / ax + by + ay + bz + az + bx
=
2 (x + y + z ) / (a + b) (x + y + z)
=
2 / (a + b)

Also Read -

  • लाभ -हानि से सम्बंधित सूत्र
  • घन एवं घनमूल ( Cube and Cubic Root )

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