दशमलव और भिन्न

dashamlav or bhinn
यदि कोई इकाई किसी संख्या को एक या एक से अधिक समान भागों में विभाजित करती है , तो यह भाग उस इकाई के ‘ भिन्न ’ कहलाते हैं । इसे
p / q
के रूप में लिखते हैं ,( जहाँ q ≠ 0 ) । इसमें p को भिन्न का अंश तथा q को भिन्न का हर कहते हैं ।
यदि
a / b
तथा
c / d
दो भिन्न हैं तथा ad > bc तब
a / b
>
c / d

यदि दी गयी भिन्नों के अंश व हर का अन्तर समान हो , तो सबसे बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी तथा सबसे छोटे अंश वाली भिन्न सबसे छोटी होती है ।

भिन्नों के प्रकार

भिन्नों के प्रमुख प्रकार निम्नलिखित हैं -:

दशमलव भिन्न - वे भिन्न जिनके हर 10 या 10 की घात में हों , दशमलव भिन्न कहलाती हैं । जैसे -
4 / 10
,
9 / 100
आदि ।

दशमलव भिन्न के मुख्यत : निम्न प्रकार है ।

( i ) सांत दशमलव भिन्न - ( अवसान दशमलव ) वे भिन्न जिनके हर 2n &yimes; 5m के रूप में होते है , सांत दशमलव भिन्न कहलाती है ।

जैसे -
5 / 10
,
12 / 100
आदि ।

( ii ) असांत दशमलव भिन्न - ( अनवसान दशमलव ) वे भिन्न जिनके हर 2n &yimes; 5m के रूप में नहीं होते है , असांत दशमलव भिन्न कहलाती है ।

जैसे -
4 / 15
,
9 / 14
आदि ।

पुनरावृत्ति भिन्न - यदि किसी दशमलव भिन्न में अंकों के किसी समूह या अंक की पुनरावृत्ति हो रही हो , तो वह भिन्न ‘ पुनरावृत्ति भिन्न ’ कहलाती है ।

जैसे - 0.666666 = 0.6
6 / 9
=
2 / 3
;
0.123636. . . = 0.1236 =
1236 - 12 / 9900
=
102 / 825

उचित भिन्न - वे भिन्न जिनके अंश , हर से कम होते हैं , उचित भिन्न कहलाती हैं ।

जैसे -
3 / 7
,
4 / 9
आदि ।

अनुचित भिन्न - वे भिन्न जिनके अंश , हर से अधिक होते हैं अनुचित भिन्न कहलाती हैं ।

जैसे -
9 / 7
,
5 / 4
आदि ।

भिन्नों की तुलना

भिन्नों की तुलना करने में निम्न विधियों का प्रयोग करते हैं ।

1 . भिन्नों को दशमलव रूप में परिवर्तित करके

जब दो या दो से अधिक भिन्नों की तुलना करनी हो , तो उन्हें दशमलव रूप में परिवर्तित करके उनकी तुलना की जा सकती है ।

उदाहरणार्थ -
3 / 5
= 0.6 ;
3 / 4
= 0.75
इसमें
3 / 4
भिन्न बड़ी है ।

2 . भिन्नों का हर समान करके

दिए गए भिन्नों में सभी भिन्नों के हरों का ल. स. लेकर उनके हर समान कर लिए जाते हैं , फिर उनके अंशों की तुलना की जाती है । बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी होती है ।

उदाहरणार्थ -
2 / 3
=
2 / 3
×
7 / 7
=
14 / 21

5 / 7
=
5 / 7
×
3 / 3
=
15 / 21

अतः
2 / 3
भिन्न छोटी है ।

भिन्नों का योग करना

जब हर समान हो -

a
b / c
+ d
e / c
= ( a + d ) +
( b + e ) / c

जब हर असमान हो -

a
b / c
+ d
e / f
= ( a + d ) +
( b×f + c×e ) / c×f

भिन्नों का अन्तर करना

जब हर समान हो -

a
b / c
- d
e / c
= ( a - d ) +
( b - e ) / c

जब हर असमान हो -

a
b / c
- d
e / f
= ( a - d ) +
( b×f - c×e ) / c×f
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